Στην κβαντική μηχανική, η σφαίρα Μπλοχ είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων.
Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα σημεία του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.
Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.
To qubit
Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση \( \psi \) μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων \( {\displaystyle |0\rangle } \(και \( {\displaystyle |1\rangle }˙ \) επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του \( {\displaystyle |0\rangle } \) να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το ψ {\displaystyle \psi } \psi έχει μια αναπαράσταση ως
\( {\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \theta \,|1\rangle \quad =\quad \cos \theta \,|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \theta \,|1\rangle } \)
με
\( {\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},\quad 0\leq \phi <2\pi .} \)
Εκτός από την περίπτωση όπου \( \psi \) είναι ένα από τα διανύσματα \( {\displaystyle |0\rangle } \) ή \( {\displaystyle |1\rangle } \), η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι \( {\displaystyle \phi \,} \)και \( {\displaystyle \theta \,} \) προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου \( {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \), δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες \({\displaystyle (x,y,z)} \) είναι
\( {\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta .\end{matrix}}} \)
Σε αυτή την αναπαράσταση το \( {\displaystyle |0\rangle } \) είναι χαρτογραφημένο μέσα στο \( {\displaystyle (0,0,1)} \) και το \( {\displaystyle |1\rangle } \) είναι χαρτογραφημένο μέσα στο \( {\displaystyle (0,0,-1)} \).
Γενίκευση
Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ Hn. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του Hn.
Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του Hn μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο
\( {\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).} \)
Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του Hn. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων
\( {\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).} \)
Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.
Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις.
Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n2. Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης
\( {\displaystyle A\mapsto e^{iA}} \)
είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση n2.
Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του Hn είναι 2n − 2.
Ουσιαστικά,
\( {\displaystyle n^{2}-((n-1)^{2}+1)=2n-2.\quad } \)
Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2m.
Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2m+1 − 2.
Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας
Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:
Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ1, ..., μk με πολλαπλότητες n1, ...,nk. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς
\( {\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).} \)
Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς
\( {\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})).} \)
Παραπομπές
Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) σελ.9-16. (Αγγλικά)
Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.) (Ανακτήθηκε 27 Απριλίου 2011)(Αγγλικά)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
