.
Φθίνουσα ή αποσβενύμενη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται απόσβεση.
Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA2 που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.
Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.
Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται. Η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.
Τυπικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής F=-bv, όπου b μία σταθερά και v η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,
\( E(t)=E_0 e^{-t/\tau}\ , \)
όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε0 η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω0>γ (ω02=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:
\( x(t)=A_0\ e^{-t/\tau}\sin{(\omega t+\varphi_0)}\ , \)
όπου ω<ω0 η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A0 η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ0 η αρχική φάση.
Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.
Επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα
Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης για τις τρεις βασικές περιπτώσεις - υποκρίσιμη, κρίσιμη και υπερκρίσιμη απόσβεση.
Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:
\( m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}\Leftrightarrow \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=0 \)
όπου θέσαμε ω02=k/m και 2γ=b/m. Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής x(t)~eρt και αντικαθιστώντας στην πάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς ρ είναι:
\( \rho_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \)
Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:
α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω0)
Στη παραπάνω περίπτωση,
\( \rho_{1,2}=-\gamma\pm i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \)
Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν
\( x(t)=A_0\ e^{-\gamma t}\sin{(\omega t+\varphi_0)}\ , \)
όπου
\( A_0=\sqrt{c_1^2+c^2_2}, \ \ \ \varphi_0=\tan^{-1}(c_1/c_2), \ \ \ \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \)
\( c_1=x_0, \ \ \ c_2=\frac{\gamma x_0+v_0}{\omega} \)
Οι ποσότητες x0 και v0 αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση
Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε
\( x(t)=A_0\ e^{-t/\tau}\sin{(\omega t+\varphi_0)} \)
Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α0.
Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο
\( T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\ T_0\ , \)
όπου Τ0 η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ0, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω0)
Σε αυτή τη περίπτωση,
\( \rho_{1,2}=-\gamma \ \ \ \)
Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι
\( x(t)=(c_1+c_2t)e^{-t/\tau}\ , \)
όπου
\( c_1=x_0, \ \ \ c_2=v_0+\gamma x_0 \)
γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση ( \( \gamma>\omega_0 \))
Στη περίπτωση αυτή,
\( \rho_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \)
Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:
\( x(t)=c_1e^{\gamma_{+}t}+c_2e^{\gamma_{-}t}\ , \)
όπου
\( \gamma_{+}=-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}, \ \ \ \gamma_{-}=-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \)
\( c_1=\frac{v_0-\gamma_{-}x_0}{\gamma_{+}-\gamma{-}}, \ \ \ c_2=\frac{\gamma_{+}x_0-v_0}{\gamma_{+}-\gamma_{-}} \)
Πηγές
Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄,Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8
Βιβλιογραφία
Τραχανάς Σ. (2005), Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
Τσίγκανος Κ. (2004), Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
