ART

 

.

Στα μαθηματικά, το Θεώρημα του Φράιμαν είναι ένα αποτέλεσμα Συνδυαστικής στη Θεωρία των Αριθμών. Κατά μία έννοια συμμετέχει με ποσοστό στην κατά προσέγγιση δομή των συνόλων των ακεραίων, που, λαμβάνοντας δύο την κάθε φορά, περιέχουν υψηλό ποσοστό των εσωτερικών αθροισμάτων τους.


Θεώρημα

Η επίσημη δήλωση είναι:

Έστω Α ένα πεπερασμένο σύνολο ακεραίων τέτοιο ώστε το συνολικό-άθροισμα

\( A + A\, \)

να είναι μικρό, διότι ισχύει

\( |A + A| < c|A|\, \)

για κάποια σταθερά c. Υπάρχει μία n-διαστατική αριθμητική πρόοδος του μήκους

\( c' |A|\, \)

που περιέχει το Α, και τέτοια ώστε το c΄ και το n να εξαρτώνται μόνο από το c.[1]

Μια απλή διδακτική περίπτωση είναι το ότι έχουμε πάντα

\( |A + A|\, ≥ 2|A|-1\, \)

ισότητα με ακρίβεια όταν το Α είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Ρώσο μαθηματικό Γκρέγκορι Φράιμαν (1964, 1966)[2][3][4] Μεγάλο ενδιαφέρον σε αυτό, και εφαρμογές του, προήλθαν από μία νέα απόδειξη του Ούγγρου μαθηματικού Imre Ζ. Ruzsa το 1994.[5][6]


Περαιτέρω ανάγνωση

Φάσμα Μάρκοφ

Παραπομπές

Nathanson (1996) σελ. 251.
Nathanson (1996) σελ. 252.
Freiman (1964), σσ. 1366–1370.
Freiman (1966), σελ. 140.
Ruzsa (1994), σσ. 379–388.

Freiman (1999), σσ. 1–33.

Βιβλιογραφία

Freiman, Gregory Abelevich (1964). «Addition of finite sets» (στα αγγλικά, το πρωτότυπο στα ρωσικά). Soviet Math., Dokl. 5: 1366–1370. Zbl 0163.29501.
Freiman, Gregory Abelevich (1966) (στα ρωσικά). Foundations of a Structural Theory of Set Addition. Καζάν: Kazan Gos. Ped. Inst., σελ. 140. Zbl 0203.35305.
Freiman, Gregory Abelevich (1999). «Structure theory of set addition» (στα αγγλικά). Astérisque 258: 1–33. Zbl 0958.11008.
Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.
Ruzsa, Imre Z. (1994). «Generalized arithmetical progressions and sumsets» (στα ουγγρικά). Acta Mathematica Hungarica 65 (4): 379–388. Zbl 0816.11008.

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License