Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a. Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι:
- ..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,
όπου a2 σημαίνει a • a, και a−3 σημαίνει a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 κτλ. Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας. Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφτούν ως
- ..., −a−a, −a, 0, a, a+a, ...
Στις ομάδες Z/nZ που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές. Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1. Κάθε κυκλική ομάδα με n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας. Ένα δεύτερο παράδειγμα για τις κυκλικές ομάδες είναι η ομάδα των n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z που ικανοποιούν την εξίσωση zn = 1. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για n = 6. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το z αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα Fp× είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν p = 5, το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, and 34 ≡ 1.
Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a, όλες οι δυνάμεις του a είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν κύκλο. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι αβελιανές, έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
