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Éléments de mathématique is a treatise on mathematics by the collective Nicolas Bourbaki, composed of twelve books (each divided into one or more chapters). The first volumes were published by Éditions Hermann from 1939 initially in the form of booklets and then as bound volumes. Following a disagreement with the editor, the publication was resumed in the 1970s by the CCLS, and then in the 1980s by Éditions Masson. Since 2006, Springer Verlag has republished all the fascicles, and has published a new volume in 2016.

The strange singular "mathématique" in the title is deliberate, to convey the authors' belief that the material is a unity, contrary to what conventional form of the title might suggest.[1][2] Conversely, the title Éléments d'histoire des mathématiques by the same authors employs the plural to indicate that before Bourbaki, mathematics was a set of scattered disciplines, and that the modern notion of structure has allowed their unification.[3]

The first six volumes follow a logical sequence. The subsequent volumes are dependent on the first six, but not on each other.[1]

Volumes

Éléments de mathématique is divided into books, volumes, and chapters. A book refers to an area of investigation or branch of mathematics (Algebra, Integration); a given book is sometimes published in multiple volumes (physical books) or else in a single volume. The work is further subdivided into chapters; some volumes consist of a single chapter. Currently, the complete original French edition of the work consists of 12 books printed in 28 volumes, with 97 chapters.

The large majority of Éléments de mathématique has also been translated into an English edition, although this translation is incomplete. Further, single volumes of the English edition sometimes collect smaller volumes of the French with the result that chapters are partitioned differently between the two editions' volumes. Currently, the English edition consists of 14 volumes. In it, seven books have been completely reproduced, three books are unavailable, and two books are partially available. On a chapter-by-chapter basis, the English edition reproduces 84 of the original's 97 chapters.[4][5][6]

French edition English edition
Book Volume Ch. no. Chapter Book Volume Ch. no. Chapter
Théorie des ensembles Théorie des ensembles[7][8] 1 Description de la mathématique formelle Theory of Sets Theory of Sets[9][10] 1 Description of Formal Mathematics
2 Théorie des ensembles 2 Theory of Sets
3 Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers 3 Ordered Sets, Cardinals, Integers
4 Structures 4 Structures
Algèbre Algèbre: Chapitres 1 à 3[11][12] 1 Structures algébriques Algebra Algebra I: Chapters 1-3[13][14] 1 Algebraic Structures
2 Algèbre linéaire 2 Linear Algebra
3 Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques 3 Tensor Algebras, Exterior Algebras, Symmetric Algebras
Algèbre: Chapitres 4 à 7[15][16] 4 Polynômes et fractions rationnelles Algebra II: Chapters 4-7[17][18] 4 Polynomials and Rational Fractions
5 Corps commutatifs 5 Commutative Fields
6 Groupes et corps ordonnés 6 Ordered Groups and Fields
7 Modules sur les anneaux principaux 7 Modules over Principal Ideal Domains
Algèbre: Chapitre 8[19][20] 8 Modules et anneaux semi-simples Unavailable in English 8 Semi-simple Modules and Rings
Algèbre: Chapitre 9[21][22] 9 Formes sesquilinéaires et formes quadratiques 9 Sesquilinear and Quadratic Forms
Algèbre: Chapitre 10[23][24] 10 Algèbre homologique 10 Homological Algebra
Topologie générale Topologie générale: Chapitres 1 à 4[25][26] 1 Structures topologiques General Topology General Topology: Chapters 1-4[27][28] 1 Topological Structures
2 Structures uniformes 2 Uniform Structures
3 Groupes topologiques 3 Topological Groups
4 Nombres réels 4 Real Numbers
Topologie générale: Chapitres 5 à 10[29][30] 5 Groupes à un paramètre General Topology: Chapters 5-10[31][32] 5 One-Parameter Groups
6 Espaces numériques et espaces projectifs 6 Real Number Spaces and Projective Spaces
7 Les groupes additifs \( >{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \) 7 The Additive Groups \( {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \)
8 Nombres complexes 8 Complex Numbers
9 Utilisation des nombres réels en topologie générale 9 Use of Real Numbers in General Topology
10 Espaces fonctionnels 10 Function Spaces
Fonctions d'une variable réelle Fonctions d'une variable réelle[33][34] 1 Dérivées Functions of a Real Variable Functions of a Real Variable: Elementary Theory[35][36] 1 Derivatives
2 Primitives et intégrales 2 Primitives and Integrals
3 Fonctions élémentaires 3 Elementary Functions
4 Équations différentielles 4 Differential Equations
5 Etude locale des fonctions 5 Local Study of Functions
6 Développements tayloriens généralisés, Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin 6 Generalized Taylor Expansions, The Euler-Maclaurin Summation Formula
7 La fonction gamma 7 The Gamma Function
Espaces vectoriels topologiques Espaces vectoriels topologiques: Chapitres 1 à 5[37][38] 1 Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué Topological Vector Spaces Topological Vector Spaces: Chapters 1-5[39][40] 1 Topological Vector Spaces over a Valued Field
2 Ensembles convexes et espaces localement convexes 2 Convex Sets and Locally Convex Spaces
3 Espaces d'applications linéaires continues 3 Spaces of Continuous Linear Mappings
4 La dualité dans les espaces vectoriels topologiques 4 Duality in Topological Vector Spaces
5 Espaces hilbertiens (théorie élémentaire) 5 Hilbert Spaces (Elementary Theory)
Intégration Intégration: Chapitres 1 à 4[41][42] 1 Inégalités de convexité Integration Integration I: Chapters 1-6[43][44] 1 Convex Inequalities
2 Espaces de Riesz 2 Riesz spaces
3 Mesures sur les espaces localement compact 3 Measures on Locally Compact Spaces
4 Prolongement d'une mesure. Espaces \( {\displaystyle L^{p}} \) 4 Extension of a Measure, \( {\displaystyle L^{p}} \) Spaces
Intégration: Chapitre 5[45][46] 5 Intégration des mesures 5 Integration of Measures
Intégration: Chapitre 6[47][48] 6 Intégration vectorielle 6 Vectorial Integration
Intégration: Chapitres 7 et 8[49][50] 7 Mesure de Haar Integration II: Chapters 7-9[51][52] 7 Haar Measure
8 Convolution et Représentation 8 Convolution and Representation
Intégration: Chapitre 9[53][54] 9 Mesures sur les espaces topologiques séparés 9 Measures on Hausdorff Topological Spaces
Groupes et algèbres de Lie Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 1[55][56] 1 Algèbres de Lie Lie Groups and Lie Algebras Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3[57][58] 1 Lie Algebras
Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 2 et 3[59][60] 2 Algèbres de Lie libres 2 Free Lie Algebras
3 Groupes de Lie 3 Lie Groups
Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 4 à 6[61][62] 4 Groupes de Coxeter et systèmes de Tits Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6[63][64] 4 Coxeter Groups and Tits Systems
5 Groupes engendrés par des réflexions 5 Groups Generated by Reflections
6 Systèmes de racines 6 Root Systems
Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8[65][66] 7 Sous-algèbres de Cartan éléments réguliers Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7-9[67][68] 7 Cartan Subalgebras and Regular Elements
8 Algèbres de Lie semi-simples déployées 8 Split Semi-simple Lie Algebras
Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 9[69][70] 9 Groupes de Lie réels compacts 9 Compact Real Lie Groups
Algèbre commutative Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4[71][72] 1 Modules plats Commutative Algebra Commutative Algebra: Chapters 1-7[73][74] 1 Flat Modules
2 Localisation 2 Localization
3 Graduations, filtrations et topologies 3 Graduations, Filtrations and Topologies
4 Idéaux premiers associés et décomposition primaire 4 Associated Prime Ideals and Primary Decomposition
Algèbre commutative: Chapitres 5 à 7[75][76] 5 Entiers 5 Integers
6 Valuations 6 Valuations
7 Diviseurs 7 Divisors
Algèbre commutative: Chapitres 8 et 9[77][78] 8 Dimension Unavailable in English 8 Dimension
9 Anneaux locaux noethériens complets 9 Complete Noetherian Local Rings
Algèbre commutative: Chapitre 10[79][80] 10 Profondeur, régularité, dualité 10 Depth, Regularity, Duality
Théories spectrales Théories spectrales: Chapitres 1 et 2[81][82] 1 Algèbres normées Spectral Theory Unavailable in English 1 Normed Algebras
2 Groupes localement compacts commutatifs 2 Locally Compact Commutative Groups
Variétés différentielles et analytiques Variétés différentielles et analytiques[83][84] 1 Fascicule de résultats Differential and Analytic Manifolds Unavailable in English 1 Summary of Results
Eléments d'histoire des mathématiques Eléments d'histoire des mathématiques[85][86] (26) Elements of the History of Mathematics Elements of the History of Mathematics[87][88] (26)
Topologie Algébrique Topologie Algébrique: Chapitres 1 à 4[89][90] 1 Revêtements Algebraic Topology Unavailable in English 1 Covering Spaces
2 Groupoïdes 2 Groupoids
3 Homotopie et groupoïde de Poincaré 3 Poincaré Homotopies and Groupoids
4 Espaces délaçables 4 Unloopable Spaces

Integration

Later books assume knowledge of the first six books and their relationship to the other books in the series will be indicated at the outset.[91]
Evolution of the project

The first volume, published in 1939, was the Fascicule de résultats of Théorie des ensembles. The publication of subsequent volumes did not follow the order of the Treatise.[1] Publication continues intermittently - the tenth chapter of Algèbre commutative was published in 1998, an expanded second edition of the eighth chapter of Algèbre in 2012, and the first four chapters of a new book Topologie algébrique in 2016. This latest book was initially planned as the eleventh chapter of Topologie générale. The Éléments de mathématique remains unfinished to this day.

Early versions are available online.[92] Most of the books published were out of print for years. The publisher Springer started their republication in 2006.
See also

Category:Mathematics source templates

References

Mashaal (2006) p. 55
Aczel, Amir D. (2006). The Artist and the Mathematician: the Story of Nicolas Bourbaki, the Genius Mathematician Who Never Existed. Thunder's Mouth Press. p. 99–100. ISBN 9781560259312.
Mashaal (2006) p. 56
Ouvrages de N. Bourbaki at the Bourbaki site
Eléments de Mathématique series in Springer
Elements of Mathematics series in Springer
Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348. French paperback edition.
"Théorie des ensembles". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2004). Theory of Sets. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540225256. English paperback edition.
"Theory of Sets". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1970). Algèbre: Chapitres 1 à 3. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540338499. French paperback edition.
"Algèbre: Chapitres 1 à 3". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I: Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540642435. English paperback edition.
"Algebra I: Chapters 1-3". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1981). Algèbre: Chapitres 4 à 7. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540343981. French paperback edition.
"Algèbre: Chapitres 4 à 7". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1990). Algebra II: Chapters 4-7. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540007067. English paperback edition.
"Algebra II: Chapters 4-7". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2012). Algèbre: Chapitre 8. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353157. French paperback edition. Original 1958 edition revised in a 2012 edition.
"Algèbre: Chapitre 8". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1959). Algèbre: Chapitre 9. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353386. French paperback edition. Original 1959 edition revised in a 1973 edition.
"Algèbre: Chapitre 9". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1980). Algèbre: Chapitre 10. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540344926. French paperback edition.
"Algèbre: Chapitre 10". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1971). Topologie générale: Chapitres 1 à 4. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540339366. French paperback edition.
"Topologie générale: Chapitres 1 à 4". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology: Chapters 1-4. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540642411. English paperback edition.
"General Topology: Chapters 1-4". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1974). Topologie générale: Chapitres 5 à 10. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540343998. French paperback edition.
"Topologie générale: Chapitres 5 à 10". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology: Chapters 5-10. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540645634. English paperback edition.
"General Topology: Chapters 5-10". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1976). Fonctions d'une variable réelle. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340362. French paperback edition.
"Fonctions d'une variable réelle". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2004). Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783642639326. English paperback edition.
"Functions of a Real Variable: Elementary Theory". springer.com. Springer. (URL number refers to English hardback edition.)
Bourbaki, Nicolas (1981). Espaces vectoriels topologiques: Chapitres 1 à 5. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540344971. French paperback edition.
"Espaces vectoriels topologiques: Chapitres 1 à 5". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1987). Topological Vector Spaces: Chapters 1-5. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540423386. English paperback edition.
"Topological Vector Spaces: Chapters 1-5". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1965). Intégration: Chapitres 1 à 4. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353287. French paperback edition. Original 1965 edition revised in a 1973 edition.
"Intégration: Chapitres 1 à 4". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I: Chapters 1-6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783642639302. English paperback edition.
"Integration I: Chapters 1-6". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1967). Intégration: Chapitre 5. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353331. French paperback edition.
"Intégration: Chapitre 5". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1959). Intégration: Chapitre 6. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353195. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1963). Intégration: Chapitres 7 et 8. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353249. French paperback edition.
"Intégration: Chapitres 7 et 8". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration II: Chapters 7-9. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783642058219. English paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1969). Intégration: Chapitre 9. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540343905. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1971). Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 1. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353355. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1989). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540642428. English paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1972). Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 2 et 3. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540339403. French paperback edition.
"Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 2 et 3". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1968). Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 4 à 6. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540344902. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (2002). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540691716. English paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1975). Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540339397. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7-9. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540688518. English paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1982). Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 9. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540343929. French paperback edition.
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Bourbaki, Nicolas (1983). Algèbre commutative: Chapitres 8 et 9. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540339427. French paperback edition.
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"Algèbre commutative: Chapitre 10". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1967). Théories spectrales: Chapitres 1 et 2. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540353300. French paperback edition.
"Théories spectrales: Chapitres 1 et 2". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1971). Variétés différentielles et analytiques. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540343967. French paperback edition.
"Variétés différentielles et analytiques". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1974). Eléments d'histoire des mathématiques. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540339380. French paperback edition.
"Eléments d'histoire des mathématiques". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the History of Mathematics. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 9783540647676. English paperback edition.
"Elements of the History of Mathematics". springer.com. Springer.
Bourbaki, Nicolas (2016). Topologie Algébrique: Chapitres 1 à 4. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783662493601. French paperback edition.
"Topologie Algébrique: Chapitres 1 à 4". springer.com. Springer.
Algebra II, v-vi.

Archives de l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki

Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians. Translated from the French by Anna Pierrehumbert. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3967-5. Zbl 1099.01022.

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