Τροχιακά στοιχεία

αγγλικά : Orbital elements
γαλλικά : Paramètres orbitaux
γερμανικά : Bahnelemente

Τα τροχιακά στοιχεία (orbital elements) ή τροχιακές παράμετροι είναι οι παράμετροι που απαιτούνται για τον μονοσήμαντο προσδιορισμό μιας συγκεκριμένης τροχιάς. Στην ουράνια μηχανική αυτά τα στοιχεία συνήθως απαντώνται σε κλασικά συστήματα δύο σωμάτων, όπου προκύπτουν τροχιές από τους νόμους του Νεύτωνα, γνωστές ως κεπλέριες τροχιές. Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι για να περιγραφεί μαθηματικά η ίδια τροχιά, αλλά ορισμένες περιγραφές, που αποτελούνται η καθεμιά από ένα σύνολο 6 παραμέτρων ή «στοιχείων», είναι αυτές που χρησιμοποιούνται συνήθως στην αστρονομία και στην τροχιακή μηχανική.

Μία πραγματική τροχιά (και τα στοιχεία της) μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου εξαιτίας βαρυτικών διαταραχών από τρίτα σώματα και από τα αποτελέσματα της Γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Μία κεπλέρια τροχιά αποτελεί απλώς μία εξιδανικευμένη μαθηματική προσέγγιση σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Κεπλέρια στοιχεία

Στο διάγραμμα αυτό το τροχιακό επίπεδο (κίτρινο) τέμνει ένα επίπεδο αναφοράς (γκρι)

. Για δορυφόρους της Γης το επίπεδο αναφοράς είναι συνήθως το επίπεδο του γήινου ισημερινού, ενώ για σώματα σε τροχιά περί τον Ήλιο είναι το επίπεδο της εκλειπτικής. Η ευθεία της τομής των δύο επιπέδων ονομάζεται γραμμή των συνδέσμων. Το επίπεδο αναφοράς και το εαρινό σημείο ♈ μαζί ορίζουν ένα σύστημα αναφοράς.

Τα «παραδοσιακά» τροχιακά στοιχεία είναι τα 6 κεπλέρια στοιχεία. Οι κεπλέριες τροχιές και τα κεπλέρια στοιχεία ονομάζονται έτσι προς τιμή του Γιοχάνες Κέπλερ και των νόμων του για την κίνηση των πλανητών.

Παρατηρούμενα από ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς, δύο σώματα σε τροχιά διαγράφουν τροχιές με τη μία εστία τους στο κοινό τους κέντρο μάζας. Παρατηρούμενα από ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς, που κινείται μαζί με το ένα από τα σώματα, μόνο το άλλο σώμα φαίνεται να διαγράφει τροχιά. Τα κεπλέρια στοιχεία περιγράφουν αυτή τη μη-αδρανειακή τροχιά. Μία τροχιά έχει δύο σύνολα κεπλέριων στοιχείων, ανάλογα με το ποιο σώμα χρησιμοποιείται ως το σημείο αναφοράς. Το σώμα αναφοράς αποκαλείται «κύριο» ή «κεντρικό», ενώ το άλλο «δευτερεύον». Το κύριο σώμα δεν είναι απαραίτητο να είναι αυτό με τη μεγαλύτερη μάζα (μπορεί π.χ. να είναι το φωτεινότερο). Ακόμα και όταν τα σώματα έχουν ίση μάζα, τα τροχιακά στοιχεία εξαρτώνται από την επιλογή του κύριου σώματος.

Τα δύο βασικά στοιχεία της τροχιάς καθορίζουν μονοσήμαντα το σχήμα και το μέγεθος της τροχιάς:

Η εκκεντρότητα ( \( {\displaystyle e\,\!} \)) καθορίζει το είδος της τροχιάς και το πόσο «μακρόστενη» είναι σε σχέση με έναν κύκλο.
Ο μεγάλος ημιάξονας ( \( {\displaystyle a\,\!} \) ) είναι το άθροισμα της αποστάσεως του περικέντρου και του αποκέντρου της τροχιάς διαιρεμένο δια του 2. Για κυκλικές τροχιές, ο μεγάλος ημιάξονας είναι η απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των δύο σωμάτων και όχι η απόσταση των σωμάτων από το κοινό τους κέντρο μάζας.

Δύο άλλα στοιχεία καθορίζουν μονοσήμαντα τον προσανατολισμό του τροχιακού επιπέδου:

Η κλίση της τροχιάς, δηλαδή η γωνία (i στο διάγραμμα) που σχηματίζει με ένα επίπεδο αναφοράς, μετρούμενο στον λεγόμενο «ανερχόμενο σύνδεσμο» (βλ. το επόμενο). Η γωνία αυτή μετρείται κάθετα στην ευθεία της τομής ανάμεσα στο τροχιακό επίπεδο και το επίπεδο αναφοράς. Οποιαδήποτε τρία σημεία μιας ελλειπτικής τροχιάς ορίζουν το τροχιακό επίπεδό της, καθώς το επίπεδο και η έλλειψη είναι αμφότερα διδιάστατα γεωμετρικά αντικείμενα που ορίζονται στον τριδιάστατο χώρο.
Το μήκος του ανερχόμενου συνδέσμου προσανατολίζει οριζοντίως τον ανερχόμενο σύνδεσμο μιας ελλειπτικής τροχιάς, δηλαδή το σημείο στο οποίο το σώμα περνά «πάνω» από το επίπεδο αναφοράς (κατά σύμβαση, όπως και στους χάρτες, το «πάνω» ορίζεται ως το ήμισυ του χώρου που περιέχει τον βόρειο ουράνιο πόλο). Ο προσδιορισμός του σημείου γίνεται με τη γωνία Ω («μήκος») που σχηματίζει με το εαρινό σημείο του συστήματος αναφοράς (πράσινη γωνία στο διάγραμμα).

Παρόμοια, το πέμπτο στοιχείο:

Το όρισμα του περικέντρου ω καθορίζει μονοσήμαντα τον προσανατολισμό της ίδιας της τροχιάς στο επίπεδό της, και είναι μία γωνία που μετρείται από τον ανερχόμενο σύνδεσμο μέχρι το περίκεντρο (το σημείο όπου το δευτερεύον σώμα πλησιάζει εγγύτατα στο κύριο σώμα γύρω από το οποίο περιφέρεται), σημειωμένη με μπλε στο διάγραμμα. Για τροχιές γύρω από τον Ήλιο, το όρισμα του περικέντρου ονομάζεται όρισμα του περιηλίου. Για κυκλικές τροχιές το όρισμα δεν έχει νόημα, αλλά παίρνουμε τότε συχνά το περίκεντρο να ταυτίζεται με τον ανερχόμενο σύνδεσμο, δηλαδή ω = 0.

Το έκτο στοιχείο, τέλος, δεν αφορά την τροχιά, αλλά το πού βρίσκεται το σώμα επάνω της:

Η μέση ανωμαλία ( \( {\displaystyle M_{o}\,\!} \) ) καθορίζει μονοσήμαντα τη θέση του σώματος που εκτελεί μία ελλειπτική τροχιά επάνω σε αυτή σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή που αποκαλείται «εποχή».

Η μέση ανωμαλία είναι μία βολική για τους υπολογισμούς «γωνία» που μεταβάλλεται γραμμικά με τον χρόνο, αλλά δεν αντιστοιχεί σε μία γεωμετρική γωνία στον «πραγματικό κόσμο». Μπορεί όμως να μετατραπεί στην αληθινή ανωμαλία \( {\displaystyle \nu \,\!} \), η οποία είναι η πραγματική γεωμετρική γωνία στο επίπεδο μιας ελλειπτικής τροχιάς, ανάμεσα στο περίκεντρο (την εγγύτατη προσέγγιση στο κύριο σώμα) και τη θέση του σώματος που εκτελεί την τροχιά σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η αληθινή ανωμαλία είναι η κόκκινη γωνία \( {\displaystyle \nu \,\!} \) στο διάγραμμα, ενώ η μέση ανωμαλία δεν δείχνεται.

Οι γωνίες κλίση, μήκος του ανερχόμενου συνδέσμου και όρισμα του περικέντρου μπορούν να περιγραφούν ως οι γωνίες Euler που καθορίζουν τον προσανατολισμό της τροχιάς ως προς το σύστημα συντεταγμένων αναφοράς.

Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν και μη ελλειπτικές κεπλέριες τροχιές, που δεν είναι κλειστές καμπύλες: Αν η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη του 1, η τροχιά είναι υπερβολή. Αν η εκκεντρότητα είναι ίση με 1 και η τροχιακή στροφορμή είναι μηδενική, η τροχιά είναι μία γραμμή που φέρνει τα δύο σώματα σε σύγκρουση, ή σε απομάκρυνση πάνω στην ευθεία γραμμή που τα ενώνει. Αν τέλος η εκκεντρότητα είναι ίση με 1 και υπάρχει τροχιακή στροφορμή, τότε η τροχιά είναι παραβολική.
Απαιτούμενες παράμετροι

Με δεδομένο ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς και μία αυθαίρετη εποχή (χρονική στιγμή), απαιτούνται ακριβώς 6 παράμετροι για να προσδιορίσουν μονοσήμαντα μία οποιαδήποτε μη διαταραγμένη τροχιά.

Αυτό ισχύει επειδή το πρόβλημα περιέχει 6 βαθμούς ελευθερίας: Τις τρεις διαστάσεις του χώρου που καθορίζουν τη θέση (τις x, y, z σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων), και την ταχύτητα στην καθεμιά από αυτές τις διαστάσεις. Η εξάδα μπορεί να περιγραφεί ως τροχιακά καταστατικά διανύσματα, αλλά αυτός είναι συχνά ένας άβολος τρόπος για την αναπαράσταση μιας τροχιάς, κάτι που εξηγεί γιατί χρησιμοποιούνται συνήθως τα κεπλέρια στοιχεία.

Κάποτε η «εποχή» θεωρείται ως μία «έβδομη» τροχιακή παράμετρος, αντί για μέρος του συστήματος αναφοράς.

Αν η εποχή ορίζεται ως η στιγμή κατά την οποία το ένα από τα τροχιακά στοιχεία είναι μηδέν, τότε ο αριθμός των ελεύθερων στοιχείων μειώνεται σε 5. (Η έκτη παράμετρος εξακολουθεί είναι απαραίτητη για τον καθορισμό της τροχιάς, απλώς έχει εκχωρηθεί σε αυτή η τιμή μηδέν κατά σύμβαση.)
Εναλλακτικές παραμετροποιήσεις

Τα κεπλέρια στοιχεία μπορούν να εξαχθούν από τα τροχιακά καταστατικά διανύσματα (τρία για τη θέση και τρία για την ταχύτητα) με μετασχηματισμούς ή με λογισμικό υπολογιστή[1].

Και άλλες παράμετροι-χαρακτηριστικά μιας τροχιάς μπορούν να υπολογισθούν από τα κεπλέρια στοιχεία της. Τέτοιες παράμετροι είναι η περίοδος της τροχιάς, και η απόσταση του περικέντρου και του αποκέντρου. Είναι σύνηθες να δίνεται η περίοδος αντί του μεγάλου ημιάξονα σε σύνολα κεπλέριων στοιχείων, καθώς το ένα μπορεί να υπολογισθεί από το άλλο με δοσμένη μόνο τη μάζα του κύριου («κεντρικού») σώματος επί την παγκόσμια βαρυτική σταθερά).

Αντί της μέσης ανωμαλίας σε μία συγκεκριμένη εποχή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν η αληθινή ανωμαλία ν o {\displaystyle \nu _{o}\,\!} {\displaystyle \nu _{o}\,\!}, το μέσο μήκος, ή (σπανίως) η έκκεντρη ανωμαλία.

Διαφορετικά σύνολα τροχιακών στοιχείων χρησιμοποιούνται για διάφορα αστρονομικά σώματα. Η εκκεντρότητα e και είτε ο μεγάλος ημιάξονας a, είτε η απόσταση του περικέντρου q, δίνονται για να καθορίσουν το σχήμα και το μέγεθος μιας τροχιάς. Η γωνία του ανερχόμενου συνδέσμου Ω, η κλίση i, και το όρισμα του περικέντρου ω, ή το μήκος του περικέντρου ϖ, δίνουν τον προσανατολισμό της τροχιάς στο επίπεδό της. Για να σημειωθεί ένα γνωστό σημείο πάνω στην τροχιά χρησιμοποιούνται το «μήκος κατά την εποχή» L0, η μέση ανωμαλία σε μία συγκεκριμένη εποχή (M0), ή η χρονική στιγμή του περάσματος από το περιήλιο T0 . Η επιλογή εξαρτάται από το αν η εαρινή ισημερία ή ο σύνδεσμος χρησιμοποιούνται ως η κύρια αναφορά. Ο μεγάλος ημιάξονας είναι γνωστός αν είναι γνωστές η μέση κίνηση και η βαρυτική μάζα.[2][3]

Είναι επίσης αρκετά συνηθισμένο να εκφράζονται απευθείας είτε η μέση ανωμαλία (Μ), είτε το μέσο μήκος (L), χωρίς την M0 ή το L0 ως ενδιάμεσα βήματα, ως μία πολυωνυμική συνάρτηση του χρόνου. Αυτή η μέθοδος εκφράσεως θα θέσει τη μέση κίνηση (n) μέσα στο πολυώνυμο ως έναν από τους συντελεστές. Το L ή το M θα εκφράζονται με έναν πιο πολύπλοκο τρόπο, αλλά θα εμφανίζεται ότι χρειαζόμαστε ένα τροχιακό στοιχείο λιγότερο.

Η μέση κίνηση μπορεί επίσης να «κρυφθεί» πίσω από την τροχιακή περίοδο P.

Σύνολα τροχιακών στοιχείων Ουράνιο σώμα Χρησιμοποιούμενα στοιχεία
Πλανήτης e, a, i, Ω, ϖ, L0
Κομήτης e, q, i, Ω, ω, T0
Αστεροειδής e, a, i, Ω, ω, M0
Στοιχεία «δύο γραμμών» (TLE) e, i, Ω, ω, n, M0

Μετασχηματισμοί γωνιών Euler

Οι γωνίες Ω , i , ω {\displaystyle \Omega ,i,\omega } {\displaystyle \Omega ,i,\omega } είναι οι γωνίες Euler ( α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }) που χαρακτηρίζουν τον προσανατολισμό του συστήματος συντεταγμένων

\( {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}} \) από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων \( {\displaystyle {\hat {I}},{\hat {J}},{\hat {K}}} \)

όπου:

Τα \( {\displaystyle {\hat {I}},{\hat {J}}} \) κείνται στο ισημερινό επίπεδο του κεντρικού σώματος. Το \( {\displaystyle {\hat {I}}} \)είναι στην κατεύθυνση του εαρινού σημείου. Το \( {\displaystyle {\hat {J}}} \) είναι κάθετο στο \( {\displaystyle {\hat {I}}} \) και από κοινού με το \( {\displaystyle {\hat {I}}} \) ορίζει το επίπεδο αναφοράς. Το \( {\displaystyle {\hat {K}}} \) είναι κάθετο στο επίπεδο αναφοράς.

Τα \( {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} \) κείνται επί του τροχιακού επιπέδου, με το \( {\displaystyle {\hat {x}}} \)στην κατεύθυνση του περικέντρου. Το \( {\displaystyle {\hat {z}}} \) είναι κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς. Το \( {\displaystyle {\hat {y}}} \) είναι κάθετο σε αμφότερα τα \( {\displaystyle {\hat {x}}} \)και \( {\displaystyle {\hat {z}}} \).

Τότε ο μετασχηματισμός από το σύστημα αναφοράς \( {\displaystyle {\hat {I}},{\hat {J}},{\hat {K}}} \) στο σύστημα \( {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}} \)με τις γωνίες Euler \( {\displaystyle \Omega ,i,\omega } \) είναι ο εξής:

\( {\displaystyle x_{1}=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega } \)
\( {\displaystyle x_{2}=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega } \)
\( {\displaystyle x_{3}=\sin i\cdot \sin \omega } \)
\( {\displaystyle y_{1}=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega } \)
\( {\displaystyle y_{2}=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega } \)
\( {\displaystyle y_{3}=\sin i\cdot \cos \omega } \)
\( {\displaystyle z_{1}=\sin i\cdot \sin \Omega } \)
\( {\displaystyle z_{2}=-\sin i\cdot \cos \Omega } \)
\( {\displaystyle z_{3}=\cos i\,} \)

όπου:

\( {\displaystyle {\hat {x}}=x_{1}{\hat {I}}+x_{2}{\hat {J}}+x_{3}{\hat {K}}} \)
\( {\displaystyle {\hat {y}}=y_{1}{\hat {I}}+y_{2}{\hat {J}}+y_{3}{\hat {K}}} \)
\( {\displaystyle {\hat {z}}=z_{1}{\hat {I}}+z_{2}{\hat {J}}+z_{3}{\hat {K}}} \)

Ο μετασχηματισμός από το σύστημα των \( {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}} \) στις γωνίες Euler \( {\displaystyle \Omega ,i,\omega } \) είναι ο εξής:

\( {\displaystyle \Omega =\operatorname {arg} (-z_{2},z_{1})} \)
\( {\displaystyle i=\operatorname {arg} (z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}})} \)
\( {\displaystyle \omega =\operatorname {arg} (y_{3},x_{3})} \)

όπου το \( {\displaystyle \operatorname {arg} (x,y)} \) είναι το πολικό όρισμα που μπορεί να υπολογισθεί με τη συνάρτηση atan2(y,x), που είναι διαθέσιμη σε πολλές γλώσσες προγραμματισμού.
Πρόβλεψη τροχιάς

Υπό ιδανικές συνθήκες ενός τέλεια σφαιρικού κεντρικού σώματος και χωρίς διαταραχές, όλα τα τροχιακά στοιχεία εκτός από τη μέση ανωμαλία είναι σταθερά στον χρόνο. Η μέση ανωμαλία αυξάνεται γραμμικά με την πάροδο του χρόνου, με τη μέση κίνηση, \( {\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}} \).[2] Επομένως, αν σε όποια στιγμή ( t_{0} \) τα τροχιακά στοιχεία είναι \( {\displaystyle [e_{0},a_{0},i_{0},\Omega _{0},\omega _{0},M_{0}]} \), τότε σε χρόνο ( {\displaystyle t_{0}+\delta t} \) τα στοιχεία θα είναι \( {\displaystyle [e_{0},a_{0},i_{0},\Omega _{0},\omega _{0},M_{0}+n\delta t]} \)

Διαταραχές και μεταβλητότητα των στοιχείων

Οι μη διαταραγμένες, νευτώνιες τροχιές στο πρόβλημα των δύο σωμάτων είναι πάντοτε κωνικές τομές, δηλαδή τα κεπλέρια στοιχεία ορίζουν/περιγράφουν μία έλλειψη, μία παραβολή ή μία υπερβολή. Αλλά οι πραγματικές τροχιές έχουν διαταραχές, συνεπώς ένα δεδομένο σύνολο κεπλέριων στοιχείων περιγράφει με ακρίβεια μία τροχιά μόνο στη συγκεκριμένη εποχή. Η εξέλιξη των τροχιακών στοιχείων μπορεί να οφείλεται στη βαρυτική έλξη τρίτων σωμάτων, στο μη σφαιρικό σχήμα του κύριου σώματος, στην αντίσταση της ατμόσφαιρας, σε διορθώσεις από τη θεωρία της σχετικότητας, στην πίεση ακτινοβολίας, σε ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις, και άλλους ακόμα παράγοντες.

Επειδή όμως οι παραπάνω διαταραχές είναι συνήθως σχετικώς μικρές, τα κεπλέρια στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόβλεψη της θέσεως του σώματος που εκτελεί την τροχιά σε χρονικές στιγμές κοντά στην εποχή τους. Εναλλακτικά, πραγματικές τροχιές μπορούν να εκφρασθούν ως μία ακολουθία κεπλέριων τροχιών που είναι στιγμιαία εφαπτόμενες (osculating) στην πραγματική τροχιά. Μπορούν επίσης να περιγραφούν από τις λεγόμενες πλανητικές εξισώσεις, δηλαδή διαφορικές εξισώσεις που έχουν ποικίλες μορφές και αναπτύχθηκαν από τους Λαγκράνζ, Γκάους, Ντελωναί, Πουανκαρέ και Χιλ.
Προτυποποίηση

Τα κεπλέρια στοιχεία μπορούν να κωδικοποιηθούν ως κείμενο σε διάφορα φορμά. Το συνηθέστερο είναι τα λεγόμενα Στοιχεία «δύο γραμμών» (TLE) των NASA/NORAD[4], που σχεδιάστηκαν αρχικώς για χρήση με διάτρητες καρτέλες των 80 στηλών, αλλά χρησιμοποιούνται ακόμα στην ίδια μορφή, ως συμβατά και με τα σύγχρονα συστήματα.

Ανάλογα με την εφαρμογή και την τροχιά του σώματος, τα δεδομένα των κεπλέριων στοιχείων που αναφέρονται σε εποχή παλαιότερη των 30 ημερών μπορεί να είναι αναξιόπιστα. Οι θέσεις του σώματος που διαγράφει την τροχιά μπορούν να υπολογισθούν από τα TLE με τους αλγορίθμους SGP/SGP4/SDP4/SGP8/SDP8.[5]

Παράδειγμα του φορμά TLE:[6]

1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Δείτε επίσης

Γωνία β
Εφημερίδα (αστρονομία)

Παραπομπές

Π.χ. με το VEC2TLE
Green, Robin M. (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.
Danby, J.M.A. (1962). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-20-0.
Kelso, T.S. «CelesTrak: "FAQs: Two-Line Element Set Format"». celestrak.com. Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2016.
Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. 1992. K.P. Seidelmann (επιμ.), University Science Books, Mill Valley, California.

SORCE Αρχειοθετήθηκε 2007-09-27 στο Wayback Machine. - τροχιακά δεδομένα στη Heavens-Above.com

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Μάθημα για τα κεπλέρια στοιχεία
Μάθημα για τις τροχιές
Spacetrack Report No. 3, σοβαρή πραγμάτευση των τροχιακών στοιχείων από τη NORAD (σε pdf)
Celestrak TLE FAQ
Η online εφημερίδα HORIZONS του JPL (με τροχιακά στοιχεία για πολλά σώματα του Ηλιακού Συστήματος)
Μέσες τροχιακές παράμετροι πλανητικών δορυφόρων από τη NASA
State vectors: VEC2TLE (πρόσβαση στο λογισμικό VEC2TLE)