Die Syllogismen (Mehrzahl von Syllogismus) bilden den Kern der klassischen Logik des Aristoteles in den Analytiken (Analytica Priora, Analytica Posteriora). Sie sind ein Katalog von Typen logischer Schlussfolgerungen.

Diese Folgerungen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz und Untersatz ergeben eine Konklusion (Schlussfolgerung).

Innerhalb dieser drei kategorischen Urteile werden wiederum drei Begriffe verwendet, die der Syllogismus in Beziehung setzt: das Prädikat (P), das auf der rechten Seite der Konklusion und im Obersatz vorkommt, das Subjekt (S), das auf der linken Seite der Konklusion und im Untersatz vorkommt, und der Mittelbegriff (M), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt.

Beispiel

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).

Der Syllogismus setzt also zwei zunächst nicht verbundene Begriffe (P und S) über den Mittelbegriff (M) in eine logisch gültige Beziehung, indem er von logisch gültigen Beziehungen jeweils eines Einzelbegriffes zum Mittelbegriff ausgeht.

Geschichte

Die syllogistische Logik ist aus dem Disputationsbetrieb der Platonischen Akademie hervorgegangen. Nach ersten Ansätzen in seiner "Topik" hat Aristoteles sie in den beiden "Analytiken" erstmals systematisch dargestellt. Allerdings kennt Aristoteles nur die ersten drei Figuren, die vierte wurde wahrscheinlich von Galen hinzugefügt. Michael Psellos hat wohl als erster den Gebrauch von Buchstabenbezeichnungen für Quantität und Qualität der Urteile benutzt sowie die Abkürzungsnamen für die Bezeichnung der einzelnen Schlüsse eingeführt; von ihm soll auch das "Logische Quadrat" stammen. Durch die Übersetzung seiner logischen Abhandlung wurden diese Bezeichnungen auch im lateinischen Mittelalter gebräuchlich. In der Scholastik erhielt die Syllogistik die Form, die dann Jahrhunderte lang in den Lehrbüchern tradiert wurde, wobei das Verständnis und die authentische Gestalt der Aristotelischen Syllogistik verloren ging und seit der Renaissance zunehmend scharfer Kritik unterzogen wurde (berühmt ist etwa die Kritik von René Descartes). Erst Jan Łukasiewicz hat Aristoteles' Logik in einer bahnbrechenden Arbeit neu entdeckt und sie vom Standpunkt der modernen Logik aus axiomatisch rekonstruiert; wegen der hohen Zahl der dabei angesetzten Axiome ist jedoch zu bezweifeln, ob diese Rekonstruktion wirklich gegenstandsadäquat ausgefallen ist. An Łukasiewicz schließt die neuere Forschung an, die ihr Standardwerk in Günther Patzigs Darstellung (1959) gefunden hat.

Typen von Aussagen

Eine Aussage in einem Syllogismus setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung (kategorisches Urteil). Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

• A - das allgemein bejahende Urteil - "alle S sind P"
  
• E - das allgemein verneinende Urteil - "kein S ist P"
  
• I - das partikulär bejahend Urteil - "einige S sind P"
  
• O - das partikulär verneinde Urteil - "einige S sind nicht P"
  

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten "affirmo" (ich bejahe) und "nego" (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Logisches Quadrat

Das logische Quadrat

Zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen bestehen verschiedene Beziehungen:

Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A-O und I-E zu.

Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz.

Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I-O in subkonträrem Gegensatz.

In der Syllogistik wird das allgemein bejahende Urteil so verstanden, dass das Subjekt S nicht leer ist. Die Aussage "Alle S sind P" setzt also voraus bzw. sagt mit aus, dass es überhaupt S gibt. Unter dieser Voraussetzung besteht zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits ein Folgerungszusammenhang: Aus A folgt I, d.h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d.h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind.

Diese Zusammenhänge werden oft in einer Tabelle, die unter dem Namen "Logisches Quadrat" bekannt wurde, zusammengefasst (siehe Abbildung).

Existenzielle Voraussagen

Wie schon im logischen Quadrat ersichtlich, macht die Syllogistik bei allgemeinen Urteilen Existenzaussagen über das Subjekt, d.h. sie setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist: Die Aussage "Alle S sind P" sagt mit aus, dass es tatsächlich S gibt, meint also: "Es gibt S, und alle davon sind P". Die Aussage "Keine S sind P" sagt mit aus, dass es tatsächlich S gibt, meint also: "Es gibt S, und keine davon sind P".

Obwohl diese existenziellen Voraussetzungen dem natürlichen Sprachgebrauch entsprechen (normalerweise empfindet man nur Allaussagen über tatsächlich vorhandene Dinge als sinnvoll), ist es wichtig, sich ihrer bewusst zu sein, weil es durchaus auch logische Systeme gibt, die diese Voraussetzungen nicht machen.

Figuren

Welche der drei Begriffe S, P und M in einer Aussage des Syllogismus vorkommen müssen, ist festgelegt: Der Obersatz besteht aus P und M, der Untersatz aus S und M, die Konklusion aus S und P. Die Konklusion hat dabei immer die Form S - P, die Anordnung der Begriffe in den Prämissen kann frei gewählt werden. Je nach Anordnung unterscheidet man die vier Figuren:

• 1. Figur: M - P, S - M, S - P
  
• 2. Figur: P - M, S - M, S - P
  
• 3. Figur: M - P, M - S, S - P
  
• 4. Figur: P - M, M - S, S - P
  

Beispiel

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).

Aufgrund der Stellung der Begriffe M - P, S - M, S - P erkennt man einen Syllogismus der 1. Figur.

Modi (Kombinationen)

Es gibt in jeder Figur mehrere Modi (auch: Kombinationen), die sich voneinander durch die Typen der auftretenden Urteile unterscheiden. Jede der drei Aussagen im Syllogismus kann von einem der vier Typen A, E, O, I sein. Bei vier Figuren, vier Typen und drei Aussagen ergeben sich also 256 Kombinationsmöglichkeiten also theoretische Syllogismen. Die meisten von diesen (nämlich 232) ergeben allerdings keinen gültigen Schluss. Ein Modus wird durch drei Buchstaben beschrieben. Dabei stehen die ersten beiden Buchstaben für die Typen der Prämissen, der dritte Buchstabe für den Typ der Konklusion.

Beispiel

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).

Alle drei Aussagen sind vom Typ A, also ist das ein AAA-Syllogismus.

Mit Hilfe der Regeln des einfachen kategorischen Syllogismus erkennt man 24 Typen von korrekten Schlüssen, die folgende Namen tragen:

• 1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
  
• 2. Figur: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros
  
• 3. Figur: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison
  
• 4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemos
  

Dabei bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz, Untersatz, Konklusion. Die Konsonanten geben an, aus welchem der Syllogismus der 1. Figur (1. Buchstabe) und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) die Syllogismen der anderen Figuren hergeleitet werden können.

Die 15 fett gedruckten Modi sind uneingeschränkt gültig, die übrigen 9 haben sog. „starke“ Prämissen aber „schwache“ Konklusionen, da ihre partikularen Urteile bereits in den allgemeinen Urteilen der starken Konklusionen enthalten sind. Beispiele:

Modus Barbara (stark): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Alle Schwabinger sind Bayern.

Modus Barbari (schwach): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind Bayern.

Modus Celarent (stark): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Kein Schwabinger ist Passauer.

Modus Celaront (schwach): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind keine Passauer.

Die schwachen Schlussfolgerungen sind dennoch logisch gültig, sofern gewisse Zusatzbedinungen erfüllt sind: Jeweils bestimmte Begriffe (Subjekt, Prädikat oder Mittelbegriff) dürfen nicht leer sein.

Syllogismen im Kontext der modernen Mathematik

Die klassischen Syllogismen lassen sich heute als Anwendung der umfassenderen Prädikatenlogik verstehen. Auch lassen sie sich als Mengenbeziehungen darstellen.

Beispiel

Syllogismus:

Alle Menschen sind sterblich.
Sokrates ist ein Mensch.
Also ist Sokrates sterblich.

mengenmäßig:

Menschen ist eine Untermenge von Sterbliche.
Sokrates ist ein Element von Menschen
Also ist Sokrates ein Element von Sterbliche.

prädikatenlogisch:

Metathesis praemissarum

metathesis praemissarum (lat.) bezeichnet eine logische Operation im Syllogismus.

Durch diese Operation werden die Prämisse minor und die Prämisse major miteinander vertauscht.

Einfache Regeln für die Gültigkeit von Schlüssen

1. Ex mere negativis nihil sequitur (lat. Allein aus verneinten Aussagen können keine Schlüsse gezogen werden): bezeichnet eine Logikregel, nach der ein einfacher kategorischer Syllogismus nicht nur verneinende Prämissen enthalten darf.

Aus den Prämissen "Kein Planet leuchtet selbst" und "Die Sonne ist kein Planet" kann z.B. kein wahrer Schlusssatz gewonnen werden.

2. Nihil sequitur geminis ex particularibus unquam (lat. Aus zwei partikularen Prämissen kann nichts gefolgert werden).

Aus den Prämissen "Einige Säugetiere leben im Wasser" und "Einige Tiere, die auf dem Land leben, sind Säugetiere" kann ebenfalls kein wahrer Schlusssatz im Syllogismus abgeleitet werden.

3. Ambae affirmantes nequeunt generare negantem (lat. Aus zwei affirmativen Prämissen kann kein negativer Schlusssatz gefolgert werden.)

Beispiele und Anmerkungen

Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der ersten Figur hat die Form MxP und SyM => SzP.

Die erste Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAA - Modus Barbara

Beispiel

Alle Rechtecke sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke

EAE - Modus Celarent

Beispiel

Kein Rechteck ist ein Kreis
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Also ist kein Quadrat ein Kreis

AII - Modus Darii

Beispiel

Alle Quadrate sind Rechtecke
Einige Rhomben sind Quadrate
Es folgt: Einige Rhomben sind Rechtecke

EIO - Modus Ferio

Beispiel

Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht durch Kiemen

Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der zweiten Figur hat die Form # 2. Figur: PxM und SyM => SzP.

Die zweite Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

EAE - Modus Cesare

Beispiel

Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Alle Fische atmen durch Kiemen
Es folgt: Kein Fisch ist ein Säugetier

AEE - Modus Camestres

Beispiel

Alle Fische atmen durch Kiemen
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Es folgt: Kein Säugetier ist ein Fisch

EIO - Modus Festino

Beispiel

Kein Abgeordneter ist ein Gauner.
Einige Rechtsanwälte sind Gauner.
Es folgt: Einige Rechtsanwälte sind keine Abgeordnete.

AOO - Modus Baroco

Beispiel

Alle Professoren sind ernst.
Einige Dozenten sind nicht ernst.
Es folgt: Einige Dozenten sind nicht Professoren

Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der dritten Figur hat die Form MxP und MyS => SzP.

Die dritte Figur besitzt folgende sechs Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Darapti

Beispiel

Alle Quadrate sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke

Anmerkung

Der Modus Darapti setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussagen.

IAI - Modus Disamis

Beispiel

Einige Früchte sind Äpfel.
Alle Früchte sind Pflanzen.
Es folgt: Einige Pflanzen sind Äpfel.

AII - Modus Datisi

Beispiel

Alle Rechtecke sind Vierecke.
Einige Rechtecke sind Quadrate.
Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate.

EAO - Modus Felapton

Beispiel

Keine Münchner sind Passauer
Alle Münchner sind Bayern
Es folgt: Einige Bayern sind keine Passauer

OAO - Modus Bocardo

Beispiel

Einige Münchner sind nicht Politiker
Alle Münchner sind Bayern
Es folgt: Einige Bayern sind nicht Politiker

EIO - Modus Ferison

Beispiel

Keine Münchner sind Passauer
Einige Münchner sind Studenten
Es folgt: Einige Studenten sind nicht Passauer

Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der vierten Figur hat die Form PxM und MyS → SzP.

Die vierte Figur besitzt folgende fünf Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

Die vierte Figur besitzt folgende fünf Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Bamalip

Beispiel

Alle Quadrate sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Vierecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate

Anmerkung

Der Modus Bamalip setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate und Rechtecke gibt (wobei die Existenz letzterer in diesem Fall aus der Existenz ersterer bereits folgt); vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussagen

AEE - Modus Camenes

Beispiel

Alle Passauer sind Bayern
Keine Bayern sind Sachsen
Es folgt: Keine Sachsen sind Passauer

IAI - Modus Dimaris

Beispiel

Einige Rhomben sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Parallelogramme
Es folgt: Einige Parallelogramme sind Rhomben (Nämlich die Quadrate)

EAO - Modus Fesapo

Beispiel

Keine Passauer sind Münchner
Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt: Einige Stadtbewohner sind keine Passauer

Anmerkung

Der Modus Fesapo setzt voraus, dass der Mittlebegriff nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Münchner gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussagen.

EIO - Modus Fresion

Beispiel

Keine Passauer sind Münchner
Einige Münchner sind Studenten
Es folgt: Einige Studenten sind keine Passauer

Syllogismen

• Epicherem - Syllogismus, in dem jede Prämisse ihrerseits ein Syllogismus ist, allerdings nach Art eines Enthymem verkürzt
  
• Episyllogismus - Syllogismus, in dem der Schlusssatz eines vorangehenden Syllogismus als erste Prämisse erscheint.
  
• Prosyllogismus
  

Literatur

• Aristoteles: Erste Analytiken I. Übersetzung von Theodor Ebert. Erlangen: Selbstverlag, 1994, 2. Auflage 1999. (einzige zuverlässige Übersetzung der Analytica priora ins Deutsche; bislang nur über den Verfasser zu beziehen, soll mit Kommentar in der Akademie-Ausgabe des deutschen Aristoteles erscheinen)
  
• Aristoteles: Analytica Posteriora. Übersetzung und Kommentar von Wolfgang Detel. Berlin, Akademie-Verlag 1998. ISBN 3050017961 (mit umfangreichem Kommentar)
  
• Aristoteles: Organon. Griechisch-Deutsch. Übersetzung und Kommentar von H.G. Zekl. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3787315969 (die Übersetzung ist bei ihrem ersten Erscheinen äußerst scharf kritisiert worden und gilt als unbrauchbar; vgl. die Rezension von Hermann Weidemann in: Zeitschrift für philosophische Forschung 53, 1999, S. 602-610)
  
• Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der "Ersten Analytik". 3. Aufl., Göttingen, 1969.
  
• in englischer Sprache:
  
• William Kneale, Martha Kneale: The Development of Logic, Clarendon Press 1962. ISBN 0-19-824773-7 - Standardwerk zur Geschichte der Logik
  
• Jan Łukasiewicz: Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic, Oxford: Clarendon Press 21957. (Standardwerk der modernen Syllogismusforschung)
  
• Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions, Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964. (einfache Darstellung)