- Art Gallery -

 

.

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος

Θεωρούμε ένα σύνολο \( \ A \subset \mathbb{R} \) διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα \( \ S \), ήτοι,

Υπάρχει \( \ S \( (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
\( t \leq S \( για κάθε \( t \in A\(
Αν \( t \leq M \) για κάθε \( t \in A τότε S \leq M \)

H ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του \( \R \).


Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy

Αν (x_n)_{n\in\N} είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.
Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων

Αν \( (L_n)_{n\in\N} είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, \( L_{i+1} \subset L_i) \) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο \( \ x_0 \) τέτοιο ώστε \(x_0 \in L_i \) για κάθε φυσικό αριθμό \( \ i.\(

Παρατηρούμε ότι το σύνολο\( \mathbb{Q}\( δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο \( S=\left\{ \begin{matrix}q \in \mathbb{Q} \end{matrix}: q^2<2 \right\}\(. Το \( \ S \( είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του\( \mathbb{R} \( δηλαδή τον άρρητο αριθμό \( \sqrt 2\(.

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)

Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License