.
Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι \( {\nu}=\omega \), όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το ν, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:
- Γενικός τύπος: αν=α1+(ν-1)ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
- Αναδρομικός τύπος: αν=αν-1+ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.
Ιδιότητες της προόδου
- Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω.
- Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α, γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
- Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου αν (με πρώτο όρο τον α1) ισούται με
- \(\Sigma_\nu=\frac{\nu(\alpha_1+\alpha_\nu)}{2} \)
- Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.
- Αν ω=1 και α1=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Περαιτέρω ανάγνωση
Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
Γεωμετρική πρόοδος
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
